Tangent unit - vector fields : nonabelian homotopy invariants and the Dirichlet energy by A Majumdar

Let O be a closed geodesic polygon in S. Maps from O into S are said to satisfy tangent boundary conditions if the edges of O are mapped into the geodesics which contain them. Taking O to be an octant of S, we evaluate the infimum Dirichlet energy, E(H), for continuous tangent maps of arbitrary homotopy type H. The expression for E(H) involves a topological invariant – the spelling length – associated with the (nonabelian) fundamental group of the n-times punctured two-sphere, π1(S 2−{s1, . . . , sn}, ∗). These results have applications for the theoretical modelling of nematic liquid crystal devices. Résumé: Soit O un polygone géodésique fermé dans S. On dit qu’une application de O dans S satisfait conditions aux limites tangentes si elle associe à chaque côté de O la géodésique qui le contient. Au cas où O serait un octant de S, nous calculons l’infimum d’énergie Dirichlet, E(H), pour applications tangentes continues avec une type d’homotopie arbitraire, H. L’expression pour E(H) implique d’utiliser un invariant topological, le longeur d’orthographe, lié au groupe fondamentel (nonabélien) de la 2-sphère percée n fois, π1(S 2 −{s1, . . . , sn}, ∗). Ces reultats ont applications pratiques pour la modélisation théorétique des dispositifs de cristal liquide nématique. Version francaise abrégée : Soit O un polygone géodésique fermé dans S. On dit qu’une application ν : O → S satisfait conditions aux limites tangentes si ν associe à chaque côté de O la géodésique qui le contient. Soit CT (O,S ) l’espace des applications continues ν : O → S qui satisfait conditions aux limites tangentes. L’espace CT (O,S ) peut être partitionné en classes équivalences H sous homotopie; ensembles des invariants classifiants sont qualifiés dans [10, 8]. Pour une classe d’homotopie donnée, on peut considérer l’infimum d’énergie Dirichlet, que nous notons E(H). Si O est le premier octant {e = (e1, e2, e3) ∈ S 2 | ej ≥ 0}, nous obtenons une formule explicite pour E(H). Cette expression implique d’utiliser un invariant topological, le longeur d’orthographe, lié au groupe fondamentel (nonabélien) de S − R, où R est un ensemble de huit points, un de chaque octant de S. La démonstration que E(H) est minoré utilise la théorie combinatoire des groupes et la démonstration que E(H) est majoré utilise estimats de l’énergie Dirichlet pour applications représentatives explicites. Cettes applications représentatives sont conformes ou nonconformes partout sauf dans un sous-ensemble de O d’aire arbitrairement petite. ∗[email protected], [email protected], [email protected]